箱线图 - 数据分布的五数概括
定义：箱线图是一种显示数据分布的五数概括的图形，包括最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值。
五数概括：
题目：某班级学生数学成绩如下，绘制箱线图。
45, 52, 58, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98
步骤1：计算五数概括
• 数据已排序：45, 52, 58, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98
• \(n = 20\)
• 最小值 = 45
• \(Q_1\) 位置：\(\frac{20}{4} = 5\)，取第5、6位平均值：\(Q_1 = \frac{63 + 65}{2} = 64\)
• 中位数位置：\(\frac{20}{2} = 10\)，取第10、11位平均值：中位数 = \(\frac{72 + 75}{2} = 73.5\)
• \(Q_3\) 位置：\(\frac{3 \times 20}{4} = 15\)，取第15、16位平均值：\(Q_3 = \frac{85 + 88}{2} = 86.5\)
• 最大值 = 98
步骤2：绘制箱线图
• 箱体：从64到86.5
• 中位线：73.5
• 须线：从64到45，从86.5到98
题目：在例题1的数据中加入一个异常值25，重新绘制箱线图。
新数据：25, 45, 52, 58, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98
计算五数概括：
• \(n = 21\)
• 最小值 = 25（异常值）
• \(Q_1 = 63\)（第6位）
• 中位数 = 72（第11位）
• \(Q_3 = 85\)（第16位）
• 最大值 = 98
绘制箱线图：
• 箱体：从63到85
• 中位线：72
• 须线：从63到45（下一个非异常值），从85到98
• 异常值：25单独标记
某公司员工年龄数据如下：
22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48
绘制箱线图，并标出五数概括。
答题区域：
某商店日销售额（元）数据：
100, 120, 150, 180, 200, 220, 250, 280, 300, 320, 350, 380, 400, 420, 450, 480, 500, 520, 550, 580, 50, 1000
绘制箱线图，识别异常值，并分析数据分布特征。
答题区域：
两个班级的数学成绩箱线图如下：
班级A：最小值40，\(Q_1 = 60\)，中位数75，\(Q_3 = 85\)，最大值95
班级B：最小值50，\(Q_1 = 65\)，中位数70，\(Q_3 = 80\)，最大值90
比较两个班级的成绩分布，分析哪个班级成绩更稳定。
答题区域：
解答过程：
计算五数概括：
• 数据已排序：22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48
• \(n = 20\)
• 最小值 = 22
• \(Q_1\) 位置：\(\frac{20}{4} = 5\)，取第5、6位平均值：\(Q_1 = \frac{28 + 29}{2} = 28.5\)
• 中位数位置：\(\frac{20}{2} = 10\)，取第10、11位平均值：中位数 = \(\frac{33 + 34}{2} = 33.5\)
• \(Q_3\) 位置：\(\frac{3 \times 20}{4} = 15\)，取第15、16位平均值：\(Q_3 = \frac{38 + 39}{2} = 38.5\)
• 最大值 = 48
绘制箱线图：
• 箱体：从28.5到38.5
• 中位线：33.5
• 须线：从28.5到22，从38.5到48
解答过程：
计算五数概括：
• 数据排序：50, 100, 120, 150, 180, 200, 220, 250, 280, 300, 320, 350, 380, 400, 420, 450, 480, 500, 520, 550, 580, 1000
• \(n = 22\)
• 最小值 = 50
• \(Q_1\) 位置：\(\frac{22}{4} = 5.5\)，取第6、7位平均值：\(Q_1 = \frac{200 + 220}{2} = 210\)
• 中位数位置：\(\frac{22}{2} = 11\)，取第11、12位平均值：中位数 = \(\frac{320 + 350}{2} = 335\)
• \(Q_3\) 位置：\(\frac{3 \times 22}{4} = 16.5\)，取第16、17位平均值：\(Q_3 = \frac{450 + 480}{2} = 465\)
• 最大值 = 1000（异常值）
识别异常值：
• \(IQR = 465 - 210 = 255\)
• 下界 = \(210 - 1.5 \times 255 = -172.5\)
• 上界 = \(465 + 1.5 \times 255 = 847.5\)
• 1000 > 847.5，所以1000是异常值
绘制箱线图：
• 箱体：从210到465
• 中位线：335
• 须线：从210到50，从465到580
• 异常值：1000单独标记
解答过程：
计算四分位距：
• 班级A：\(IQR_A = 85 - 60 = 25\)
• 班级B：\(IQR_B = 80 - 65 = 15\)
比较分析：
• 中位数：班级A（75）> 班级B（70），班级A整体成绩更高
• 四分位距：班级A（25）> 班级B（15），班级A成绩分散程度更大
• 稳定性：班级B的IQR更小，成绩更集中，更稳定
• 极差：班级A（55）> 班级B（40），班级A成绩范围更大
结论：班级B成绩更稳定，班级A成绩更高但分散程度更大。